联合命题 13.3.2 和推论 13.4.7,推出关于紧致连通区域上的连续函数的定理,作为推论 9.7.4 的推广.

  解答:设 $(X,d)$ 是紧致连通度量空间.设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d)$ 到实直线的连续映射.根据 ,可知存在 $x_{\max}\in X$,使得 $f(x_{\max})$ 是 $f$ 的最大值,也存在 $x_{\min}\in X$,使得 $f(x_{\min})$ 是 $f$ 的最小值.由于 $f(X)$ 是连通的,因此根据 ,可知 $[f(x_{\min}),f(x_{\max})$ 是一个区间,该区间就是 $f(X)$.